Question

12．若f（x）為R上的奇函數，且在（0，+∞）內是增函數，又f（-3）=0，則 （x-2）f（x）＜0的解集為（-3，0）∪（2，3）．

Answer 1

分析 由（x-2）•f（x）＜0對x-2＞0或x-2＜0進行討論，把不等式（x-2）•f（x）＜0轉化為f（x）＞0或f（x）＜0的問題解決，根據f（x）是奇函數，且在（0，+∞）內是增函數，又f（-3）=0，把函數值不等式轉化為自變量不等式，求得結果．

解答 解：∵f（x）是R上的奇函數，且在（0，+∞）內是增函數，
∴在（-∞，0）內f（x）也是增函數，
又∵f（-3）=0，
∴f（3）=0
∴當x∈（-∞，-3）∪（0，3）時，f（x）＜0；
當x∈（-3，0）∪（3，+∞）時，f（x）＞0；
∵（x-2）•f（x）＜0
∴$\left\{\begin{array}{l}x-2＜0\\ f（x）＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ f（x）＜0\end{array}\right.$，
解得-3＜x＜0或2＜x＜3
∴不等式的解集是（-3，0）∪（2，3）
故答案為：（-3，0）∪（2，3）

點評 本題主要考查函數的奇偶性和單調性解不等式，體現了分類討論的思想方法，屬中檔題．