Question

17．函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設f（x）在[1，2015]上具有性質(zhì) P．現(xiàn)給出如下命題：
①f（x）在[1，2015]上不可能為一次函數(shù)；
②若f（1008）=1008，則f（x）+f（2016-x）≥2016；
③對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，2015]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；
④函數(shù)f（x）在[1，$\sqrt{2015}$]上具有性質(zhì)P．
其中真命題的序號是②③④．

Answer 1

分析 若f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P，則函數(shù)（x）在[a，b]上不是凸函數(shù)，進而分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：若f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P，則函數(shù)（x）在[a，b]上不是凸函數(shù)，
故：①f（x）在[1，2015]上不可能為一次函數(shù)，錯誤；
②若f（1008）=1008，則$\frac{1}{2}$[f（x）+f（2016-x）]≥f（1008）=1008，即f（x）+f（2016-x）≥2016，正確；
③對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，2015]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，正確；
④[1，$\sqrt{2015}$]⊆[1，2015]，故函數(shù)f（x）在[1，$\sqrt{2015}$]上一定具有性質(zhì)P．
故真命題的序號為：②③④，
故答案為：②③④

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的凸凹性，正確理解性質(zhì)P的含義，是解答的關鍵，難度中檔．