Question

有以下五個(gè)命題：
①y=sin²x+

9

sin2x

的最小值是6；
②已知f（x）=

x- 11

x- 10

，則f（4）＜f（3）；
③命題“函數(shù)f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是真命題；
④函數(shù)y=

1

x-1

在定義域上單調(diào)遞減；
⑤f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，x＞0時(shí)的解析式是f（x）=2^x，則x＜0時(shí)的解析式為f（x）=-2^-x．
其中真命題是：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：①利用基本不等式時(shí)判斷“=”不成立；
②化簡f（x），判斷f（4）＜1，f（3）＞1，得出結(jié)論f（4）＜f（3）；
③舉例說明該命題的否命題是假命題；
④函數(shù)y=

1

x-1

在定義域上無單調(diào)性，但在某一區(qū)間上有單調(diào)性；
⑤由f（x）是定義域上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)f（x）的解析式求出x＜0時(shí)f（x）的解析式．

解答： 解：對(duì)于①，∵y=sin²x+

9

sin2x

≥2

sin2x• 9 sin2x

=6，sin²x≠3，∴“=”不成立，y沒有最小值，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，∵f（x）=

x- 11

x- 10

=

x- 10 + 10 - 11

x- 10

=1+

10 - 11

x- 10

，

10

-

11

＜0，4-

10

＞0，
∴

10 - 11

4- 10

＜0，∴f（4）＜1，同理f（3）＞1，∴f（4）＜f（3），②正確；
對(duì)于③，該命題的否命題是“函數(shù)f（x）在x=x₀處無極值，則f′（x₀）≠0”，是假命題，
如f（x）=x³在x=0處無極值，則但f′（x）=0，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，函數(shù)y=

1

x-1

在定義域上無單調(diào)性，但在（-∞，1）與（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，∴④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，∵f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)f（x）=2^x，∴x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）=2^-x，即f（x）=-f（-x）=-2^-x，⑤正確；
綜上，以上真命題是②⑤．
故答案為：②⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的應(yīng)用問題，函數(shù)的單調(diào)性問題，函數(shù)的奇偶性問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，是綜合題目．