Question

已知拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，且與雙曲線實軸垂直，又拋物線與雙曲線的一個交點為(3，2

6

)．
（1）求拋物線與雙曲線的方程．
（2）已知直線y=ax+1與雙曲線交于A，B兩點，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），將交點(3，2

6

)代入得p的值，可得拋物線方程以及它的準(zhǔn)線方程，可得c=2．再由點(3，2

6

)在雙曲線上，a²+b²=c²，因此可以解得a²和b²的值，可得雙曲線的方程．
（2）將直線y=ax+1代入雙曲線的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程有2個實數(shù)根的條件求得a的范圍．

解答： 解：（1）由題意知，拋物線焦點在x軸上，開口方向向右，可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
將交點(3，2

6

)代入得p=4，故拋物線方程為y²=8x，它的準(zhǔn)線方程為x=-2，
可得雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為（2，0），則c=2．又點(3，2

6

)也在雙曲線上，因此有

9

a2

-

24

b2

=1．
又a²+b²=4，因此可以解得a²=1，b²=3，因此，雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1．
（2）將直線y=ax+1代入雙曲線的方程x2-

y2

3

=1可得 （3-a²）² x²-2ax-4=0，
由

3-a2≠0 △=4a2-4(3-a2)•(-4)＞0

 求得-2＜a＜2，且 a≠±

3

．

點評：本題主要考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．