Question

2．袋中裝有4個(gè)黑球和3個(gè)白球，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一個(gè)球．甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，…，摸取后均不放回，直到有一人摸取到白球即終止．每個(gè)球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的．用X表示摸球終止時(shí)所需的摸球的次數(shù)．
（1）求甲乙兩人各摸一次球就終止的概率；
（2）求隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）甲乙兩人各摸一次球就終止的含意為甲先摸，摸到的是黑球，乙后摸，摸到的是白球，此時(shí)X=2，由此能求出甲乙兩人各摸一次球就終止的概率．
（2）袋中的7個(gè)球 3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．分別求出相的應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的概率分布列和E（X）．

解答 解：（1）甲乙兩人各摸一次球就終止的含意為甲先摸，摸到的是黑球，乙后摸，摸到的是白球，此時(shí)X=2，
由題P（X=2）=$\frac{{A}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
∴甲乙兩人各摸一次球就終止的概率為$\frac{2}{7}$．…（4分）
（2）袋中的7個(gè)球 3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．
P（X=1）=$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{1}}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{4}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{6}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{A}_{4}^{3}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{3}{35}$，
P（X=5）=$\frac{{A}_{4}^{4}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{5}}$=$\frac{1}{35}$．…（12分）
（注：此段（4分）的分配是每錯(cuò)1個(gè)扣（2分），錯(cuò)到4個(gè)即不得分，另用其它解法酌情給分）
隨機(jī)變量X的概率分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

所以E（X）=$1×\frac{3}{7}+2×\frac{2}{7}+3×\frac{6}{35}+4×\frac{3}{35}+5×\frac{1}{35}$=2．…（15分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．