2.袋中裝有4個(gè)黑球和3個(gè)白球,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一個(gè)球.甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,…,摸取后均不放回,直到有一人摸取到白球即終止.每個(gè)球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的.用X表示摸球終止時(shí)所需的摸球的次數(shù).
(1)求甲乙兩人各摸一次球就終止的概率;
(2)求隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

分析 (1)甲乙兩人各摸一次球就終止的含意為甲先摸,摸到的是黑球,乙后摸,摸到的是白球,此時(shí)X=2,由此能求出甲乙兩人各摸一次球就終止的概率.
(2)袋中的7個(gè)球 3白4黑,隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.分別求出相的應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量X的概率分布列和E(X).

解答 解:(1)甲乙兩人各摸一次球就終止的含意為甲先摸,摸到的是黑球,乙后摸,摸到的是白球,此時(shí)X=2,
由題P(X=2)=$\frac{{A}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{2}}$=$\frac{2}{7}$,
∴甲乙兩人各摸一次球就終止的概率為$\frac{2}{7}$.…(4分)
(2)袋中的7個(gè)球 3白4黑,隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.
P(X=1)=$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{1}}$=$\frac{3}{7}$,
P(X=2)=$\frac{{A}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{2}}$=$\frac{2}{7}$,
P(X=3)=$\frac{{A}_{4}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{6}{35}$,
P(X=4)=$\frac{{A}_{4}^{3}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{3}{35}$,
P(X=5)=$\frac{{A}_{4}^{4}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{5}}$=$\frac{1}{35}$.…(12分)
(注:此段(4分)的分配是每錯(cuò)1個(gè)扣(2分),錯(cuò)到4個(gè)即不得分,另用其它解法酌情給分)
隨機(jī)變量X的概率分布列為:

X12345
P$\frac{3}{7}$$\frac{2}{7}$$\frac{6}{35}$$\frac{3}{35}$$\frac{1}{35}$
所以E(X)=$1×\frac{3}{7}+2×\frac{2}{7}+3×\frac{6}{35}+4×\frac{3}{35}+5×\frac{1}{35}$=2.…(15分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用.

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