Question

12．求下列圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）經(jīng)過A（1，$\frac{3}{2}$），B（2，0）的橢圓；
（2）以拋物線y²=4$\sqrt{10}$x的焦點(diǎn)，以直線y=±$\frac{x}{2}$為漸近線的雙曲線．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0且m≠n），代入進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)拋物線和雙曲線的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．

解答 解：1）設(shè)經(jīng)過A（1，$\frac{3}{2}$），B（2，0）的橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0且m≠n），
則$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{9}{4}n=1}\\{4m=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）拋物線y²=4$\sqrt{10}$x的焦點(diǎn)為（$\sqrt{10}$，0），
則以直線y=±$\frac{x}{2}$為漸近線的雙曲線方程設(shè)為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，（λ＞0）．
則$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1，
則a²+b²=4λ+λ=5λ=10，得λ=2，
即雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線和橢圓方程的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．