Question

1．已知函數(shù)f（x）=4（x+1）²，g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$，實(shí)數(shù)a、b滿足a＜b＜0，若?m∈[a，b]，?n∈（0，+∞），使得f（m）=g（n）成立，則b-a的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間和極值、最值，可得g（x）∈（-∞，3]，令f（x）=4（x+1）²=3，x＜0．運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得到b-a的最大值=|x₁-x₂|．

解答 解：函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$，
x＞0，g′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{（1-x）（1+x）}{x}$，
可知：0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）在（0，1）上
單調(diào)遞增；
x＞1時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（1）=0-$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2}$=3．
因此g（x）∈（-∞，3]，
令f（x）=4（x+1）²=3，x＜0．
化為4x²+8x+1=0，
可得x₁+x₂=-2，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴b-a的最大值=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4-4×\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了轉(zhuǎn)化、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．