Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

7

3

，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）證明數(shù)列{a_n-2n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足

1+2bn

bn

=

an

n

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，分別取n=1，n=2，利用遞推公式能求出a₂，a₃的值．
（2）由a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*），得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），從而能證明數(shù)列{a_n-2n}是首項(xiàng)為

1

3

，且公比為3的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由

1+2bn

bn

=

1

bn

+2=

an

n

=

3n-2+2n

n

，得bn=

n

3n-2

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

7

3

，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*），
∴a₂=3a₁-4×1+2=3×

7

3

-4+2=5，
a₃=3a₂-4×2+2=3×5-8+2=9．
（2）由a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*），
得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a1=

7

3

，∴a 1-2=

1

3

，
∴數(shù)列{a_n-2n}是首項(xiàng)為

1

3

，且公比為3的等比數(shù)列，
∴an-2n=

1

3

•3n-1=3^n-2，
于是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=3n-2+2n，（n∈N^*）
（3）由

1+2bn

bn

=

1

bn

+2=

an

n

=

3n-2+2n

n

，
得bn=

n

3n-2

，n∈N^*，
∴Sn=3+

2

1

+

3

3

+

4

32

+…+

n

3n-2

，①
于是

1

3

Sn=1+

2

3

+

3

32

+…+

n

3n-1

，②
由①-②得

2

3

Sn=3+1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-2

-

n

3n-1

=

3[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-

n

3n-1

=

9[1-( 1 3 )n]

2

-

n

3n-1

，
∴S_n=

27[1-( 1 3 )n]

4

-

n

2•3n-2

=

27

4

(1-

1

3n

-

2n

3n+1

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．