Question

（2012•天津模擬）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

，E為PD上一點，PE=2ED．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形，從而有PA⊥AD，再結(jié)合PA⊥CD，AD、CD 相交于點D，可得PA⊥平面ABCD；
（II）過E作EG∥PA 交AD于G，連接BD交AC于O，過G作GH∥OD，交AC于H，連接EH．利用三垂線定理結(jié)合正方形ABCD的對角線互相垂直，可證出∠EHG為二面角D-AC-E的平面角．分別在△PAB中和△AOD中，求出EH=

1

3

，GH=

2

3

，在Rt△EHG中利用三角函數(shù)的定義，得到tan∠EHG=

EG

GH

=

2

2

．最后由同角三角函數(shù)的關(guān)系，計算得cos∠EHG=

6

3

．
（III）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別給出點A、B、C、P、E的坐標(biāo)，從而得出

AC

=（1，1，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

 ），利用向量數(shù)量積為零的方法，列方程組可算出平面AEC的一個法向量為

n

=（-1，1，-2 ）．假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F，使得BF∥平面AEC，則

BF

=

BC

+

CF

=（-λ，1-λ，λ），且有

BF

?

n

=0．所以

BF

?

n

=λ+1-λ-2λ=0，解之得λ=

1

2

，所以存在PC的中點F，使得BF∥平面AEC．

解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=

2

，
∴PA²+AD²=PD²，可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PA⊥AD---（2分）
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于點D，
∴PA⊥平面ABCD-------（4分）
（Ⅱ）過E作EG∥PA 交AD于G，
∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
∵△PAB中，PE=2ED
∴AG=2GD，EG=

1

3

PA=

1

3

，------（5分）
連接BD交AC于O，過G作GH∥OD，交AC于H，連接EH．
∵OD⊥AC，GH∥OD
∴GH⊥AC
∵EG⊥平面ABCD，HG是斜線EH在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴EH⊥AC，可得∠EHG為二面角D-AC-E的平面角．-----（6分）
∴Rt△EGH中，HG=

2

3

OD=

1

3

BD=

2

3

，可得tan∠EHG=

EG

GH

=

2

2

．
由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得cos∠EHG=

1 1+tan2∠EHG

=

6

3

．
∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值為

6

3

-------（8分）
（Ⅲ）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，

2

3

，

1

3

），

AC

=（1，1，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

 ）---（9分）
設(shè)平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），根據(jù)數(shù)量積為零，可得

n • AC =0 n • AE =0

，即：

x+y=0 2y+z=0

，令y=1，得

n

=（-1，1，-2 ）-------------（10分）
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F，且

CF

=λ

CP

，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，則

BF

?

n

=0．
又∵

BF

=

BC

+

CF

=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ），
∴

BF

?

n

=λ+1-λ-2λ=0，∴λ=

1

2

，
所以存在PC的中點F，使得BF∥平面AEC．----------------（13分）

點評：本題給出一個特殊的棱錐，通過證明線面垂直和求二面角的大小，著重考查了用空間向量求平面間的夾角、直線與平面平行的判定與性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．