Question

9．已知f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a（a＞0），若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 把f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立轉(zhuǎn)化為ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a-2lnx在[1，+∞）上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a-2lnx，由導(dǎo)數(shù)分類求得函數(shù)g（x）在[1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求得a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a（a＞0），f（x）≥2lnx，
得ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a≥2lnx，
令g（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a-2lnx，
則g′（x）=a-$\frac{a-2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）[ax+（a-2）]}{{x}^{2}}$．
若-$\frac{a-2}{a}$=1，即a=1，則g′（x）≥0，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
又g（1）=0，
∴f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；
若-$\frac{a-2}{a}$＞1，即a＜1，當(dāng)x∈（-∞，1），（-$\frac{a-2}{a}$，+∞）時，
g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，-$\frac{a-2}{a}$）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（-$\frac{a-2}{a}$）．
∵g（1）=0，∴g（-$\frac{a-2}{a}$）＜0，不合題意；
若-$\frac{a-2}{a}$＜1，即a＞1，當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{a-2}{a}$）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（-$\frac{a-2}{a}$，1）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（1）．
∵g（1）=0，∴f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立．
綜上，a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．