Question

12．已知函數(shù)f（x）=-x²+2x，g（x）=kx，定義域都是[0，2]，若|f（x）+g（x）+m|＜1，恒成立，求證：|m|＜1且|k|＜2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=-x²+2x，g（x）=kx，定義域都是[0，2]，若|f（x）+g（x）+m|＜1，恒成立，令x=0，可證得：|m|＜1，
x∈（0，2]時(shí)，采用分離變量的方法，結(jié)合基本不等式法和導(dǎo)數(shù)法分別求出相應(yīng)的最值，建立不等關(guān)系，可證得：|k|＜2$\sqrt{2}$-2

解答 證明：∵函數(shù)f（x）=-x²+2x，g（x）=kx，定義域都是[0，2]，若|f（x）+g（x）+m|＜1，恒成立，
即|-x²+（2+k）x+m|＜1在[0，2]上恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，|m|＜1，
當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，
即-1＜-x²+（2+k）x+m＜1在（0，2]上恒成立，
即x²-m-1＜（2+k）x…①且x²-m+1＞（2+k）x…②在（0，2]上恒成立，
即2+k＞x-$\frac{m+1}{x}$且2+k＜x-$\frac{m-1}{x}$在（0，2]上恒成立，
由x-$\frac{m-1}{x}$≥$2\sqrt{1-m}$＞2$\sqrt{2}$
故2+k＜2$\sqrt{2}$，即k＜2$\sqrt{2}$-2，
令y=x-$\frac{m+1}{x}$，則y′=1+$\frac{m+1}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
故y=x-$\frac{m+1}{x}$在（0，2]上為增函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值2-$\frac{m+1}{2}$＞2，
即2+k＞2，解得k＞0，
綜上所述：0＜k＜2$\sqrt{2}$-2，
則|k|＜2$\sqrt{2}$-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，掌握分離變量的方法是本題的關(guān)鍵．