Question

18．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)M（0，$\sqrt{3}$）與點(diǎn)F₂的連線交C于點(diǎn)N，且N是線段MF₂的中點(diǎn)，F(xiàn)₁N⊥MF₂，則C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+2}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 運(yùn)用F₁N為MF₂的垂直平分線，可得|MF₁|=|F₁F₂|=2c，由對(duì)稱性可得|MF₂|=|MF₁|=2c，|NF₂|=c，|NF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，再由雙曲線的定義和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：N是線段MF₂的中點(diǎn)，F(xiàn)₁N⊥MF₂，
可得F₁N為MF₂的垂直平分線，
可得|MF₁|=|F₁F₂|=2c，
由對(duì)稱性可得|MF₂|=|MF₁|=2c，
|NF₂|=c，|NF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，
則2a=|NF₁|-|NF₂|=$\sqrt{3}$c-c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=1+$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和線段的垂直平分線、勾股定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．