Question

19．已知點(diǎn)A（-2，1）和B（2.4），圓C：x²+y²=m²．
（1）若直線AB與圓C相切，求圓C的方程；
（2）當(dāng)線段AB與圓C沒有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出過A，B的直線方程，圓心（0，0）到直線AB的距離，即可求圓C的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)A（-2，1）和B（2，4），都在圓C：x²+y²=m²的內(nèi)部時(shí)，求得m的取值范圍，當(dāng)圓心（0，0）到直線AB的距離大于半徑時(shí)，求得m的取值范圍，將這兩個范圍取并集．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-2，1）和B（2，4），
∴過A，B的直線方程為3x-4y+10=0，
圓心（0，0）到直線AB的距離d=$\frac{10}{\sqrt{9+16}}$=2，
∴圓C的方程x²+y²=4；
（2）當(dāng)點(diǎn)A（-2，1）和B（2，4），都在圓C：x²+y²=m²的內(nèi)部時(shí)，m²＞4+16=20，
∴m＞2$\sqrt{5}$或m＜-2$\sqrt{5}$．
直線AB的方程為為3x-4y+10=0，圓心（0，0）到直線AB的距離d=$\frac{10}{\sqrt{9+16}}$=2，
當(dāng)圓心（0，0）到直線AB的距離大于半徑時(shí)，有2＞|m|≠0，-2＜m＜2，且 m≠0．
綜上，m的取值范圍是m＞2$\sqrt{5}$或m＜-2$\sqrt{5}$或-2＜m＜2，且 m≠0．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．分類討論是解題的關(guān)鍵．