Question

15．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E為棱PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若PD=AD=2，PB⊥AC，求點(diǎn)P到平面AEC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，推導(dǎo)出EF∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）推導(dǎo)出PD⊥AC，從而AC⊥平面PBD，由AC⊥BD，得P到平面AEC的距離等于D到平面AEC的距離，由V_D-ABC=V_E-ADC，能求出點(diǎn)P到平面AEC的距離．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，
∵底面ABCD為矩形，∴F為BD中點(diǎn)，
又∵E為PD中點(diǎn)，∴EF∥PB，
又∵PB?面AEC，EF?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）∵PD⊥面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又∵PB⊥AC，PB∩PD=P，∴AC⊥平面PBD，
又∵BD?平面PBD，∴AC⊥BD，∴ABCD為正方形，
又E為PD中點(diǎn)，∴P到平面AEC的距離等于D到平面AEC的距離，
設(shè)D到平面AEC的距離為h，
由題意得AE=EC=$\sqrt{5}$，AC=2$\sqrt{2}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
由V_D-ABC=V_E-ADC，得$\frac{1}{3}{S}_{△AEC}•h=\frac{1}{3}{S}_{△ADC}•ED$，
解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴點(diǎn)P到平面AEC的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．