Question

7．如圖，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，且AB的長(zhǎng)度小于圓O的直徑，直線l與AB垂于點(diǎn)D且與圓O相切于點(diǎn)C．若AB=2，DB=1
（1）求證：CB為∠ACD的角平分線；
（2）求圓O的直徑的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由切割線定理得CD²=DA•DB=3，證明∠ACB=∠CAB，利用CD為圓O的切線，∠BCD=∠，可得∠BCD=∠ACB，即可證明CB為∠ACD的角平分線；
（2）連結(jié)AO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)E，連結(jié)CE，求出AE，即可求圓O的直徑的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：由切割線定理得CD²=DA•DB=3，
∴$CD=\sqrt{3}$…（1分）
又∵在Rt△CDB中，CB²=CD²+BD²=3+1=4…（2分）
∴在Rt△CBA中，CB=AB=2，
∴∠ACB=∠CAB…（3分）
又∵CD為圓O的切線，
∴∠BCD=∠CAB…（4分）
∴∠BCD=∠ACB，CB為∠ACD的角平分線  …（5分）
（2）解：連結(jié)AO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)E，連結(jié)CE，
設(shè)DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)為F，則
∵AE為圓O直徑，∴$∠ACE=\frac{π}{2}$
∵直線l與圓O相切于點(diǎn)C．∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠2，
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB…（6分）
∴EC=BC=AB=2（相等的圓周角所對(duì)的弦相等） …（7分）
∵AC²=AD²+CD²=9+3=12…（8分）
∴AE²=EC²+AC²=4+12=16…（9分）
∴AE=4圓O的直徑為4                          …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線定理，圓的切線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．