Question

9．某企業(yè)尋找甲、乙兩家代工廠為其生產(chǎn)某種產(chǎn)品，并通過檢測該產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)值來衡量產(chǎn)品是否合格．現(xiàn)從甲、乙生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取50件產(chǎn)品作為樣本，測量出它們的該項(xiàng)指標(biāo)值，若指標(biāo)值落在（170，230]內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．表是甲廠樣本的頻數(shù)分布表，如圖是乙廠樣本的頻率分布直方圖．

質(zhì)量指標(biāo)值	頻數(shù)
（150，170]	3
（170，190]	12
（190，210]	20
（210，230]	a
（230，250]	7

表：甲廠樣本的頻數(shù)分布表
（I） 求頻數(shù)分布表中a的值，并將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；
（II） 若將頻率視為概率，某個(gè)月內(nèi)，甲、乙兩廠均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則甲、乙兩廠分別生產(chǎn)出不合格品約多少件？
（III）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并回答能否有85%的把握認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩廠的選擇有關(guān)”？
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$（其中n=a+b+c+d為樣本容量）

	甲廠	乙廠	合計(jì)
合格品
不合格品
合計(jì)

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.010
k	2.072	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （I）利用頻數(shù)分布表直接求解a的值，將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；
（II） 將頻率視為概率，直接求解某個(gè)月內(nèi)，甲、乙兩廠均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則甲、乙兩廠分別生產(chǎn)出不合格品件數(shù)．
（III）利用公式K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，求出結(jié)果判斷即可．

解答 解：（ I）a=50-12-3-7-20=8，（210，230]的高度與（150，170]的高度相同， …（2分）
（ II）由甲廠頻數(shù)分布表知，不合格品有10件，則甲廠不合格品概率為${P_甲}=\frac{1}{5}$，所以甲廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中，不合格品大約為$5000×\frac{1}{5}=1000$件；  …（4分）
由乙廠頻率分布直方圖知，不合格品的頻率為（0.01+0.005）×20=0.3件，則乙廠不合格品概率為${P_甲}=\frac{3}{10}$，所以乙廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中，不合格品大約為$5000×\frac{3}{10}=1500$件  …（7分）
（ III）由題意可得

	甲廠	乙廠	合計(jì)
合格品	40	35	75
不合格品	10	15	25
合計(jì)	50	50	100

：${K^2}=\frac{{100×{{（{600-350}）}^2}}}{50×50×75×25}=\frac{4}{3}≈1.333＜2.072$
所以沒有85%的把握認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩廠的選擇有關(guān)”．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖，分布表以及獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．