Question

7．一張長方形紙片ABCD，AB=8cm，AD=6cm，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段MN）將紙片分成兩部分，面積分別為S₁ cm²，S₂ cm²，（S₁≤S₂）其中點A在面積為S₁的部分內(nèi)．記折痕長為lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：2，求l的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不妨設紙片為長方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中點A在面積為S₁的部分內(nèi)．折痕有下列三種情形：①折痕的端點M，N分別在邊AB，AD上；②折痕的端點M，N分別在邊AB，CD上；③折痕的端點M，N分別在邊AD，BC上．易判斷l(xiāng)=4為情形①，設AM=xcm，AN=ycm，則x²+y²=16．利用不等式即可求得S₁的最大值；
（2）由題意知，長方形的面積為S=6×8=48，因為S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32，按三種情形進行討論：根據(jù)S₁的面積可把折痕l表示為函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特點可用導數(shù)或二次函數(shù)性質(zhì)分別求得l的范圍，綜上即可求得l的范圍．

解答 解：如圖所示，折痕有下列三種情形：
①折痕的端點M，N分別在邊AB，AD上；
②折痕的端點M，N分別在邊AB，CD上；
③折痕的端點M，N分別在邊AD，BC上．

（1）在情形②、③中MN≥6，故當l=4時，折痕必定是情形①．
設AM=xcm，AN=ycm，則x²+y²=16．               …（2分）
因為x²+y²≥2xy，當且僅當x=y時取等號，
所以S₁=$\frac{1}{2}$xy≤4，當且僅當x=y=2$\sqrt{2}$時取等號．
即S₁的最大值為4．                                 …（5分）
（2）由題意知，長方形的面積為S=6×8=48．
因為S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32．
當折痕是情形①時，設AM=xcm，AN=ycm，則$\frac{1}{2}$xy=16，即y=$\frac{32}{x}$．
由$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤8\\ 0≤\frac{32}{x}≤6\end{array}$得$\frac{16}{3}$≤x≤8．
所以l=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3{2}^{2}}{{x}^{2}}}$，$\frac{16}{3}$≤x≤8．                 …（8分）
設f（x）=x²+$\frac{3{2}^{2}}{{x}^{2}}$，x＞0，則f′（x）=$\frac{2（{x}^{2}+32）（x+4\sqrt{2}）（x-4\sqrt{2}）}{{x}^{3}}$，x＞0．故

x	$\frac{16}{3}$	（$\frac{16}{3}$，4$\sqrt{2}$）	4$\sqrt{2}$	（4$\sqrt{2}$，8）	8
f′（x）		-	0	+
f（x）	64$\frac{4}{9}$	↘	64	↗	80

所以f（x）的取值范圍為[64，80]，從而l的范圍是[8，4$\sqrt{5}$]；   …（11分）
當折痕是情形②時，設AM=xcm，DN=ycm，則$\frac{1}{2}$（x+y）×6=16，即y=$\frac{16}{3}$-x．
由$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤8\\ 0≤\frac{16}{3}-x≤8\end{array}$得0≤x≤$\frac{16}{3}$．
所以l=$\sqrt{{6}^{2}+（x-y）^{2}}$，0≤x≤$\frac{16}{3}$．
所以l的范圍為[6，$\frac{2\sqrt{145}}{3}$]；                       …（13分）
當折痕是情形③時，設BN=xcm，AM=ycm，則$\frac{1}{2}$（x+y）×8=16，即y=4-x．
由$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤6\\ 0≤4-x≤6\end{array}$得0≤x≤4．
所以l=$\sqrt{{8}^{2}+4（x-2）^{2}}$，0≤x≤4．
所以l的取值范圍為[8，4$\sqrt{5}$]．
綜上，l的取值范圍為[6，4$\sqrt{5}$]．                    …（16分）
（注：只要函數(shù)表達式正確，定義域未求或是求錯，不影響答案的，各扣一分）

點評 本題考查利用導數(shù)、不等式求函數(shù)的最值，考查分類討論思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學生分析解決問題的能力．