Question

19．已知平行四邊形ABCD（如圖1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，把三角形ADE沿DE折起至A₁DE位置，使得A₁C=4，F(xiàn)是線段A₁C的中點(diǎn)（如圖2）．
（1）求證：BF∥面A₁DE；
（2）求證：面A₁DE⊥面DEBC；
（3）求二面角A₁-DC-E的正切值．

Answer 1

分析 （1）取A₁D中點(diǎn)G，并連接FG，EG，能夠說明四邊形BFGE為平行四邊形，從而根據(jù)線面平行的判定定理即可得出BF∥面A₁DE；
（2）先根據(jù)已知的邊、角值說明△A₁DE為等邊三角形，然后取DE中點(diǎn)H，連接CH，從而得到A₁H⊥DE，根據(jù)已知的邊角值求出A₁H，CH，得出${A}_{1}{H}^{2}+C{H}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$，從而得到A₁H⊥CH，從而根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理即可證出面A₁DE⊥面DEBC；
（3）過H作HO⊥DC，垂足為O，并連接A₁O，容易說明DC⊥面A₁HO，從而得出∠A₁OH為二面角A₁-DC-E的平面角，能夠求出HO，從而求出tan∠A₁OH，即求出了二面角A₁-DC-E的正切值．

解答 解：（1）證明：如圖，取DA₁的中點(diǎn)G，連FG，GE；
F為A₁C中點(diǎn)；
∴GF∥DC，且$GF=\frac{1}{2}DC=EB$；
∴四邊形BFGE是平行四邊形；
∴BF∥EG，EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE；
∴BF∥平面A₁DE；
（2）證明：如圖，取DE的中點(diǎn)H，連接A₁H，CH；

AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)；
∴△DAE為等邊三角形，即折疊后△DA₁E也為等邊三角形；
∴A₁H⊥DE，且${A}_{1}H=\sqrt{3}$；
在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；
根據(jù)余弦定理，可得：
HC²=1+16-4=13，在△A₁HC中，${A}_{1}H=\sqrt{3}$，$HC=\sqrt{13}$，A₁C=4；
∴${A}_{1}{C}^{2}={A}_{1}{H}^{2}+H{C}^{2}$，即A₁H⊥HC，DE∩HC=H；
∴A₁H⊥面DEBC；
又A₁H?面A₁DE；
∴面A₁DE⊥面DEBC；
（3）如上圖，過H作HO⊥DC于O，連接A₁O；
A₁H⊥面DEBC；
∴A₁H⊥DC，A₁H∩HO=H；
∴DC⊥面A₁HO；
∴DC⊥A₁O，DC⊥HO；
∴∠A₁OH是二面角A₁-DC-E的平面角；
在Rt△A₁HO中，${A}_{1}H=\sqrt{3}$，$HO=DH•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故tan$∠{A}_{1}OH=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$；
所以二面角A₁-DC-E的正切值為2．

點(diǎn)評 考查中位線的性質(zhì)，平行四邊形的概念，線面平行的判定定理，能根據(jù)折疊前圖形的邊角值得到折疊后對應(yīng)的邊角值，直角三角形邊的關(guān)系，線面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定義及求法．