Question

（2010•武漢模擬）已知函數(shù)f(x)=

1+x

+

1-x

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）是否存在正常數(shù)α，使不等式

1+x

+

1-x

≤2-

x2

α

在0≤x≤1恒成立？如果存在，求出最小正數(shù)α，否則請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調性與導數(shù)關系，對f（x）求導后，再求解即可．
（2）令

1+x

+

1-x

=t，則x2=1-

1

4

(t2-2)2，又0≤x≤1，則

2

≤t≤2，因此要使

1+x

+

1-x

≤2-

x2

a

恒成立．
只需1-

1

4

(t2-2)2≤a(2-t)在

2

≤t≤2恒成立①．
法1：構造函數(shù)g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4≥0，在

2

≤t≤2上恒成立，利用單調性求出g（t）的最小值，令其大于等于0．
法2：對①式中的α進行參數(shù)分離，當t=2時，顯然成立當

2

≤t＜

2

時，只需α≥

1- 1 4 (t2-2)2

2-t

=

1

4

t2（t+2）恒成立，再求出相應函數(shù)的最小值作比較．

解答：解：（1）由f（x）=

1+x

+

1-x

知其定義域為：-1≤x≤1
求導數(shù)得到f'（x）=

1

2

（

1

1+x

-

1

1-x

）
 令f'（x）=0得到：x=0

1

1-x

在0≤x＜1時，f'（x）≤0
在-1＜x≤1時，f'（x）≥0
因此f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，在[-1，0]上為增函數(shù)  …（6分）
（2）方法一：令

1+x

+

1-x

=t，則x2=1-

1

4

(t2-2)2，又0≤x≤1，則

2

≤t≤2
因此要使

1+x

+

1-x

≤2-

x2

a

恒成立．
只需1-

1

4

(t2-2)2≤a(2-t)在

2

≤t≤2恒成立．
即需g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4≥0在t∈[

2

，2]上恒成立．只需g（t）的最小值大于等于0
而g'（t）=4[t（t²-2）-α]在

2

≤t≤2上單調遞增．
于是：g'（

2

）≤g'（t）≤g'（2）
g'（

2

）=-4α＜0．g'（2）=16-α
若g'（2）=16-α≤0，α≥4，則g（t）在t∈[

2

，2]上為減函數(shù)．g（t）的最小值 g（2）=0，符合要求．
若g'（2）=16-α＞0，g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4在t∈[

2

，2]上先減后增． 
 又∵g（2）=0，存在t₀，g（t₀）＜0，不合題意．
因此存在這樣的正常數(shù)α，且求得α的最小值為4．  …（13分）
方法二：由解法1知只需1-

1

4

(t2-2)2≤α(2-t)在

2

≤t≤2上恒成立
當t=2時，顯然成立當

2

≤t＜

2

時，只需α≥

1- 1 4 (t2-2)2

2-t

=

1

4

t2（t+2）恒成立，
又

1

4

t2(t+2)＜

1

4

•22（2+2）=4∴α≥4
即α最小值為4．   …（13分）

點評：本題考查了用函數(shù)單調性與導數(shù)關系，求單調區(qū)間，求最值．考查不等式恒成立問題，用到了函數(shù)最值法、分離參數(shù)法．考查邏輯思維、計算、分析、轉化能力．