Question

4．已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由離心率等于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程是y=k（x-2），與橢圓聯(lián)立，得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，由此利用韋達(dá)定理、向量相等，結(jié)合已知條件能證明λ₁+λ₂為定值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵離心率等于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{5}，b=1$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$．…（4分）
證明：（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B，M的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
又由題意知F點(diǎn)的坐標(biāo)為F（2，0），直線l存在斜率，設(shè)直線l的斜率為k，
則直線l的方程是y=k（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，…（8分）
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$，…（9分）
又∵$\overrightarrow{MA}={λ}_{1}\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=${λ}_{2}\overrightarrow{BF}$，
將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得${λ}_{1}=\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$，${λ}_{2}=\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$，…（11分）
∴${λ}_{1}+{λ}_{2}=\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}+\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$
=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{4-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2（\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}-\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}）}{4-2•\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}+\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}}$=-10．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)式和為定值的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．