Question

13．已知橢圓的長軸長與焦距比為2：1，左焦點F（-2，0），一定點為P（-8，0）．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過P的直線與橢圓交于P₁，P₂兩點，求△P₁F₂F面積的最大值及此時直線的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的長軸長與焦距比為2：1，左焦點F（-2，0），求出a，c，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)過P的直線為y=k（x+8），與橢圓聯(lián)立，得（3+4k²）x²+64k²x+256k²-48=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△P₁F₂F面積的最大值及此時直線的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓的長軸長與焦距比為2：1，左焦點F（-2，0），一定點為P（-8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{2c}=\frac{2}{1}}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得a=4，b²=16-4=12，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）設(shè)過P的直線為y=k（x+8）交橢圓E于P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+8）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+64k²x+256k²-48=0，
由題意△＞0，解得-$\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{64{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{256{k}^{2}48}{3+4{k}^{2}}$，
點F到直線P₁P₂的距離為d=$\frac{6|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，且|P₁P₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|，
∴△P₁P₂F的面積S=$\frac{1}{2}$|P₁P₂|•d=3|k||x₁-x₂|
=3|k|$\sqrt{（-\frac{64{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{256{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$
=72|k|$\sqrt{\frac{1-4{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$
=72$\sqrt{\frac{-4{k}^{4}+{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
令3+4k²=t（3≤t＜4），得：
S=36$\sqrt{-12（\frac{1}{t}）^{2}+7•\frac{1}{t}-1}$，（$\frac{1}{4}＜\frac{1}{t}≤\frac{1}{3}$），
∴當(dāng)$\frac{1}{t}=\frac{7}{24}$時，S取最大值為3$\sqrt{3}$．
由3+4k²=$\frac{24}{7}$，解得k=±$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴當(dāng)過P點的直線斜率為$±\frac{\sqrt{21}}{14}$時，△P₁F₂F面積取最大值3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值及其求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、點到直線的距離公式的合理運(yùn)用．