Question

19．以橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓若和橢圓有交點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 以橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓為：x²+y²=c²，與橢圓聯(lián)立，得（b²-a²）x²=a²b²-a²c²，由此利用根的判別式能求出橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：以橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓為：x²+y²=c²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，得（b²-a²）x²=a²b²-a²c²，
∴${x}^{2}=\frac{{a}^{2}（^{2}-{c}^{2}）}{^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{c}^{2}}$，
∴以橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓若和橢圓有交點(diǎn)，
∴$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{c}^{2}}$≥0，
∴c≥b，
∴橢圓離心率的取值范圍是e=$\frac{c}{a}$$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，∴橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．