【題目】如圖，在三棱柱中，為正三角形，，， ，點在線段上，且.

（1）證明：；

（2）求和平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1)要證明,只需證明平面,只需證明,由，，所以，所以,因為，所以，又,則易證.(2) 取中點，證明平面，建立空間直角坐標系，和平面所成角的正弦值就是和設平面的一個法向量所成角的余弦值

（1）證明：由，，所以，所以，

因為，所以，

又，.

所以平面，所以.

（2）解：由（1）知，又，所以，

又，，所以平面，

平面，所以平面平面.

取中點，由為正三角形知，平面，

又平面平面，所以平面，

以為坐標系原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，

，，

，，

，

設平面的一個法向量，則且，

所以，取，則，，

.

所以，

所以直線和平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校為了了解該校高三年級學生寒假在家自主學習的情況，隨機對該校300名高三學生寒假的每天學習時間（單位：h）進行統(tǒng)計，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算該校高三年級學生的平均每天學習時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；

（Ⅱ）該校規(guī)定學習時間超過4h為合格，否則不合格．已知這300名學生中男生有140人，其中合格的有70人，請補全下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認為該校高三年級學生的性別與學習時長合格有關？

男生

女生

總計

不合格

合格

70

總計

140

160

300

參考公式：，其中．

參考附表：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為（其中為坐標原點）．

（1）試求拋物線的方程；

（2）已知點兩點在拋物線上，是以點為直角頂點的直角三角形．

①求證：直線恒過定點；

②過點作直線的垂線交于點，試求點的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下圖統(tǒng)計了截止到2019年年底中國電動汽車充電樁細分產(chǎn)品占比及保有量情況，關于這5次統(tǒng)計，下列說法正確的是（ ）

A.私人類電動汽車充電樁保有量增長率最高的年份是2018年

B.公共類電動汽車充電樁保有量的中位數(shù)是25.7萬臺

C.公共類電動汽車充電樁保有量的平均數(shù)為23.12萬臺

D.從2017年開始，我國私人類電動汽車充電樁占比均超過50%

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年，河南省鄭州市的房價依舊是鄭州市民關心的話題．總體來說，二手房房價有所下降，相比二手房而言，新房市場依然強勁，價格持續(xù)升高．已知銷售人員主要靠售房提成領取工資．現(xiàn)統(tǒng)計鄭州市某新房銷售人員一年的工資情況的結(jié)果如圖所示，若近幾年來該銷售人員每年的工資總體情況基本穩(wěn)定，則下列說法正確的是（ ）

A.月工資增長率最高的為8月份

B.該銷售人員一年有6個月的工資超過4000元

C.由此圖可以估計，該銷售人員2020年6，7，8月的平均工資將會超過5000元

D.該銷售人員這一年中的最低月工資為1900元

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，.

（1）證明：平面

（2）當直線與平面所成角的正切值為時，求銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸非負半軸為極軸，長度單位相同，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線過點傾斜角為.

（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并寫出直線的參數(shù)方程；

（2）當時，直線交曲線于，兩點，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】圖1是矩形，，，M為的中點，將沿翻折，得到四棱錐，如圖2．

（Ⅰ）若點N為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）若．求點A到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設，函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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