Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=pn²-n（p∈R，且p≠0），且a₂，a₃，a₅依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意得a₂=3p-1，a₃=5p-1，a₅=9p-1，從而求通項(xiàng)公式；
（2）化簡b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$=n•4^n-1，從而利用錯位相減法求數(shù)列的和．

解答 解：（1）a₂=S₂-S₁=4p-2-（p-1）=3p-1，
a₃=S₃-S₂=9p-3-（4p-2）=5p-1，
a₅=S₅-S₄=25p-5-（16p-4）=9p-1，
∵a₂，a₃，a₅依次成等比數(shù)列，
∴（5p-1）（5p-1）=（3p-1）（9p-1），
解得，p=1，
故a₁=S₁=1-1=0，
a_n=S_n-S_n-1=pn²-n-（p（n-1）²-（n-1））
=（2n-1）p-1=2n-2，
a₁=0也滿足a_n=2n-2，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-2；
（2）b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$=n•4^n-1，
故T_n=1+2•4+3•4²+…+n•4^n-1，
4T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ，
故3T_n=-1-4-4²-…-4^n-1+n•4ⁿ，
故3T_n=n•4ⁿ-$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$，
故T_n=$\frac{（3n-1）{4}^{n}+1}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用．