Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，a_n+1=S_n+1（n∈N⁺）
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，前n項和為T_n，若T₃=30，b_n≥0（n∈N⁺）且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n．
（3）證明：$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$≤9（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n⁺¹，得：n≥2時，a_n=S_n-1⁺¹，兩式相減后，結合等比數(shù)列的定義，可得{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}的公差為d，根據(jù)T₃=30，a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，可得d=2，進而得到T_n．
（3）由（1）（2）得$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+7n}{{2}^{n-1}}$，進而$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{-n}^{2}-5n+7}{{2}^{n}}$，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得當n=2時，$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$取最大值9，進而得到結論．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n⁺¹，…①
∴n≥2時，a_n=S_n-1⁺¹，…②
①-②得：a_n+1-a_n=a_n，
即a_n+1÷a_n=2，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項以2為公比的等比數(shù)列，故a_n=2^n-1，
（2）設數(shù)列{b_n}的公差為d，d＞0，
∵T₃=3b₂=30，
∴b₂=10，
∴b₁=10-d，b₃=10+d，
∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，
∴11-d，12，14+d成等比數(shù)列，
即（11-d）（14+d）=144，
解得：d=2，或d=-5（舍去），
故數(shù)列{b_n}是首項為8，公差為2的等差數(shù)列，
∴T_n=n²+7n，
證明：（3）∵$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+7n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{（n+1）}^{2}+7（n+1）}{{2}^{n}}$-$\frac{{n}^{2}+7n}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{-n}^{2}-5n+7}{{2}^{n}}$，
當n=1時，$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$＞0，
當n≥2時，$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$＜0，
故當n=2時，$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+7n}{{2}^{n-1}}$=9為最大值，
即$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$≤9（n∈N⁺）

點評 本題考查的知識是數(shù)列求和，數(shù)列最大值求法，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及性質，難度中檔．