Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=

x

x2+4

在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)有3個；
③函數(shù)y=sin x（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=

∫

x -x

sinxdx；
④若

a

•

b

＜0，則＜

a

，

b

＞的夾角為鈍角．
其中真命題是

 

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①函數(shù)f（x）=

x

x2+4

，x∈[1，3]，f′（x）=

4-x2

(x2+4)2

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出正誤；
②由f（-1）f（0）=(

1

2

-1)•(1-0)＜0，可得在區(qū)間（-1，0）內(nèi)存在一個零點(diǎn)，另外f（2）=f（4）=0，即可判斷出正誤；
③函數(shù)y=sin x（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=2

∫

π 0

sinxdx≠

∫

x -x

sinxdx，即可判斷出正誤；
④若

a

•

b

＜0，則＜

a

，

b

＞的夾角為鈍角或平角，即可判斷出正誤．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=

x

x2+4

，x∈[1，3]，f′（x）=

4-x2

(x2+4)2

，當(dāng)1≤x＜2時，f′（x）＞0，因此函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)2＜x≤3時，f′（x）＜0，因此函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，因此是假命題；
②∵f（-1）f（0）=(

1

2

-1)•(1-0)＜0，∴在區(qū)間（-1，0）內(nèi)存在一個零點(diǎn)，另外f（2）=f（4）=0，因此函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)有3個，是真命題；
③函數(shù)y=sin x（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=2

∫

π 0

sinxdx≠

∫

x -x

sinxdx，是假命題；
④若

a

•

b

＜0，則＜

a

，

b

＞的夾角為鈍角或平角，因此是假命題．
其中真命題是②．
故答案為：②．

點(diǎn)評：本題考查了利用當(dāng)時研究函數(shù)的單調(diào)性、微積分基本定理、函數(shù)零點(diǎn)存在定理、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．