Question

2．設(shè)偶函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)是函數(shù)f′（x），f（2）=0，當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）-f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （0，2）∪（-2，0）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)得到，g（x）在（-∞，0）是增函數(shù)，再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，得到g（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）遞增，從而求出f（x）＞0的解集即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＜0時(shí)，xf′（x）-f（x）＞0，
∴x＜0時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（2）=0，∴g（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
∴g（-2）=-g（2）=0，
如圖示：
當(dāng)x＞0，f（x）＞0，
即g（x）＞0=g（2），解得：x＞2，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
即g（x）＜g（-2）=0，解得：x＜-2
故不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想．解決本題的關(guān)鍵是能夠想到通過構(gòu)造函數(shù)解決．