Question

2．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中點，N是BC的中點，△A₁MC₁是等腰三角形，D為CC₁的中點，E為BC上的一點．
（1）求證：M，N，A₁，C₁四點共面；
（2）若DE∥平面A₁MC₁，求$\frac{CE}{EB}$；
（3）求直線BC和平面A₁MC₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中點N，連結MN，C₁N，由已知得A₁，M，N，C₁四點共面；
（2）由已知條件推導出DE∥C₁N，從而求出$\frac{CE}{EB}$；
（3）連結B₁M，由已知條件得四邊形ABB₁A₁為矩形，B₁C₁與平面A₁MC₁所成的角為∠B₁C₁M，由此能求出直線BC和平面A₁MC₁所成的角的余弦值．

解答 （1）證明：取BC中點N，連結MN，C₁N，…（1分）
∵M，N分別為AB，CB中點
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四點共面，…（3分）
（2）解：∵平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N，
又DE∩平面BCC₁B₁，
且DE∥平面A₁MC₁，∴DE∥C₁N，
∵D為CC₁的中點，∴E是CN的中點，…（5分）
∴$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$．…（6分）
（3）解：連結B₁M，…（7分）
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，即四邊形ABB₁A₁為矩形，且AB=2AA₁，
∵M是AB的中點，∴B₁M⊥A₁M，
又A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁⊥B₁M，從而B₁M⊥平面A₁MC₁，…（9分）
∴MC₁是B₁C₁在平面A₁MC₁內的射影，
∴B₁C₁與平面A₁MC₁所成的角為∠B₁C₁M，
又B₁C₁∥BC，
∴直線BC和平面A₁MC₁所成的角即B₁C₁與平面A₁MC₁所成的角…（10分）
設AB=2AA₁=2，且三角形A₁MC₁是等腰三角形
∴A₁M=$\sqrt{2}$，則MC₁=2，B₁C₁=$\sqrt{6}$
∴cos∠B₁C₁M=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴直線BC和平面A₁MC₁所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查兩條線段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．