Question

2．已知曲線C：mx²+4y²-4m=0（x≤0），點(diǎn)A（-2，0），若實(shí)數(shù)m與曲線C同時(shí)滿足條件曲線C上存在B、C，使△ABC為正三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{4}{3}$，0）∪（0，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件可知m≠0，并且曲線C的方程可以變成$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，（x≤0），該曲線表示雙曲線、橢圓，或圓的左半部分，根據(jù)這幾個(gè)圖形都關(guān)于x軸對(duì)稱，所以得到是否存在滿足條件的m，就是看曲線上是否存在一點(diǎn)使該點(diǎn)和A點(diǎn)的連線和x軸的夾角為30°，這樣結(jié)合圖形即可求出m的取值范圍．

解答 解：容易判斷符合條件的m≠0；
∴曲線C的方程可變成：
$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，該曲線表示雙曲線、橢圓，或圓；
∴根據(jù)這幾種圖形的對(duì)稱性，判斷m是否能夠滿足條件，即判斷能否在曲線上找到一點(diǎn)，使它和A點(diǎn)的連線與x軸夾角為30°；
①若m＜0，則曲線C是雙曲線，如圖，要存在點(diǎn)B和A點(diǎn)的連線和x軸的夾角為30°，需該雙曲線的漸近線和x軸的夾角小于30°；
∴$\frac{\sqrt{-m}}{2}＜tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$m＞-\frac{4}{3}$；
∴此時(shí)$-\frac{4}{3}＜m＜0$；
②若0＜m＜4，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，如圖，
要滿足條件，需橢圓的上頂點(diǎn)和A點(diǎn)的連線和x軸的夾角小于等于30°；
∴$\frac{\sqrt{m}}{2}≤tan30°$；
∴$m≤\frac{4}{3}$；
∴此時(shí)0$＜m≤\frac{4}{3}$；
③若m=4，曲線C表示圓，并且是左半圓，圓和y軸的交點(diǎn)和A點(diǎn)的連線和x軸的夾角45°是左半圓的其它點(diǎn)和A點(diǎn)連線與x軸夾角的最小值，顯然不合條件；
④若m＞4，曲線C表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，并且是左半橢圓，如圖，
同②③，該橢圓的上頂點(diǎn)和A點(diǎn)的連線與x軸的夾角是該左半橢圓上其它點(diǎn)和A點(diǎn)的連線與x軸夾角的最小的；
顯然該橢圓上頂點(diǎn)和A點(diǎn)的連線和x軸的夾角大于45°，所以不存在符合條件的m；
∴綜上得m的取值范圍為$（-\frac{4}{3}，0）∪（0，\frac{4}{3}]$．
故答案為：（$-\frac{4}{3}，0$）∪（0，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線、橢圓，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的漸近線的概念，這幾種圖形關(guān)于y軸的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的方法．