Question

12．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程：ρ=2cosθ+4sinθ，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{t}^{2}}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C₁與曲線C₂的公共弦AB的極坐標(biāo)方程；
（2）在曲線C₂上是否恰好在不同的三點(diǎn)P₁、P₂、P₃，使得這三點(diǎn)到直線AB的距離都等于$\frac{3\sqrt{2}}{8}$？若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將方程轉(zhuǎn)化，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，可得曲線C₁與曲線C₂的公共弦AB的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P（x，y），到直線AB的距離為$\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，求出y，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程：ρ=2cosθ+4sinθ，直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-2）²=5
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{t}^{2}}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為y²=3x，
兩方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），（3，3），
所以AB的方程為y=x，極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$；
（2）設(shè)P（x，y），到直線AB的距離為$\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴|$\frac{{y}^{2}}{3}$-y|=$\frac{3}{4}$，
∴4y²-12y±9=0，
∴y=$\frac{3}{2}$或$\frac{3±3\sqrt{2}}{2}$，
∴曲線C₂上恰好在不同的三點(diǎn)P₁、P₂、P₃，使得這三點(diǎn)到直線AB的距離都等于$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．