Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（-1）=2．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在x∈[-3，5]時(shí)的最大值和最小值；
（3）若f（m）+$\frac{1}{2}$f（9）＞$\frac{1}{2}$f（m²）+f（3），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法求f（0）的值，即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論；
（3）利用f（m）+$\frac{1}{2}$f（9）＞$\frac{1}{2}$f（m²）+f（3），可得f（2m+9）＞f（m²+6），根據(jù)f（x）在R上是減函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＞x₂，f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
則y=x₁-x₂＞0，
∴f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x）在R上是減函數(shù)；
∵f（-3）=3f（-1）=6，f（5）=5f（1）=-10，
∴最大值為f（-3）=6，最小值為f（5）=-10；
（3）∵f（m）+$\frac{1}{2}$f（9）＞$\frac{1}{2}$f（m²）+f（3），
∴2f（m）+f（9）＞f（m²）+2f（3），
∴f（2m+9）＞f（m²+6），
∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴2m+9＜m²+6，
∴m＜-1或m＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)定義法和賦值法是解決抽象函數(shù)問題的基本方法．