Question

1．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，其中ω∈（-$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$）
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，銳角B滿足f（$\frac{B}{2}+\frac{π}{12}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{3}，b=\sqrt{2}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由三角函數的對稱性和ω∈（-$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$）可得ω=1，可得解析式；
（2）由題意易得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，cosB=$\frac{2}{3}$，由余弦定理和基本不等式可得ac≤3，進而可得△ABC面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{5}}{6}$ac≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得答案．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵函數f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱
∴2ω×$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，∴ω=$\frac{3}{2}$k+1，k∈Z
由ω∈（-$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$）可得ω=1，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）∵在△ABC中銳角B滿足f（$\frac{B}{2}+\frac{π}{12}$）=2sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{2}{3}$，又b=$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得2=a²+c²-2ac×$\frac{2}{3}$≥2ac-$\frac{4}{3}$ac=$\frac{2}{3}$ac，
∴ac≤3，∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{5}}{6}$ac≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查三角恒等變換，涉及三角函數的對稱性和余弦定理以及三角形的面積公式，屬中檔題．