Question

19．如所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，使點(diǎn)M，N分別在AB，AD的延長(zhǎng)線上，且對(duì)角線MN過(guò)點(diǎn)C，已知AB=2米，AD=3米．
（Ⅰ）若要使矩形AMPN的面積不大于32平方米，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（Ⅱ）當(dāng)DN的長(zhǎng)為多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)DN的長(zhǎng)為x（x＞0）米，則AN=（x+3）米，表示出矩形的面積，利用矩形AMPN的面積不大于32平方米，即可求得DN的取值范圍．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)矩形的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)DN的長(zhǎng)為x（x＞0）米，則AN=（x+3）米
∵$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，∴AM=$\frac{2（x+3）}{x}$，
∴矩形AMPN的面積S=AN•AM=$\frac{2（x+3）^{2}}{x}$
∵矩形AMPN的面積不大于32平方米，
∴$\frac{2（x+3）^{2}}{x}$≤32
又x＞0得x²-10x+9≤0
解得：1≤x≤9，即DN的長(zhǎng)取值范圍是[1，9]；
（Ⅱ）矩形花壇的面積為S=AN•AM=$\frac{2（x+3）^{2}}{x}$=2x+$\frac{18}{x}$+12≥2$\sqrt{2x•\frac{18}{x}}$+12=24
當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{18}{x}$，即x=3時(shí)，矩形花壇的面積最小為24平方米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)題設(shè)關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并求出處變量的取值范圍；考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是確定矩形的面積．