Question

無窮數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項為10，公差為-2的等差數(shù)列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列（其中m≥3，m∈N^*），并且對于任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n成立．記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則使得S_128m+5≥2013（m≥3，m∈N^*）的m的取值集合為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+

m(m-1)

2

（-2）+

1 2 (1- 1 2m )

1- 1 2

]+10+8+6+4+4，得S_128m+5=704m-64m²+94-64•（

1

2

）^m≥2013，設(shè)f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•（

1

2

）^m，g（m）＞1914，存在這樣的m=6，使得S_128m+5≥2013（m≥3，m∈N^*．由此能求出m的取值集合為{6}．

解答： 解：等差數(shù)列通項公式：a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比數(shù)列通項公式：a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-m-1=(

1

2

)n-m，
由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅
=64[10m+

m(m-1)

2

（-2）+

1 2 (1- 1 2m )

1- 1 2

]+10+8+6+4+2，
可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•（

1

2

）^m≥2013，
設(shè)f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•（

1

2

）^m，g（m）＞1919，
f（m）=-64（m²-11m），
存在m=5或6時取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
所以存在這樣的m=5或m=6，使得S_128m+5≥2013（m≥3，m∈N^*．
因此m的取值集合為{5，6}．
故答案為：{5，6}．

點評：本題主要考查了數(shù)列的概念，考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．