Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，即，若，則稱在上封閉.

（1）分別判斷函數(shù)， 在上是否封閉，說(shuō)明理由；

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且存在反函數(shù)，若函數(shù)在上封閉，且函數(shù)在上也封閉，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)任意，若，有恒成立，則稱在上是單射，已知函數(shù)在上封閉且單射，并且滿足 ，其中（），，證明：存在的真子集，

，使得在所有（）上封閉.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)在上封閉的定義，分別求出函數(shù)， 在上的值域，即可判斷是否封閉；（2）函數(shù)在D上封閉，則.函數(shù)在上封閉，則，得到： .從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： 在兩不等實(shí)根．（3）分兩種情況： 和，第一種情況顯然不成立，第二種情況，因?yàn)?/span>是單射，因此取一個(gè)，則是唯一的使得的根，換句話說(shuō)考慮到，即，因?yàn)?/span>是單射，則這樣就有了.接著令，并重復(fù)上述論證證明..

試題解析：

（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，（取一個(gè)具體例子也可），

所以在上不封閉.

在上封閉

（2）函數(shù)在D上封閉，則.函數(shù)在上封閉，則，

得到： .

在單調(diào)遞增.

則 在兩不等實(shí)根．

，

故，解得．

另解： 在兩不等實(shí)根．令

在有兩個(gè)不等根，畫(huà)圖，由數(shù)形結(jié)合可知，

解得．

（3）如果，則，與題干矛盾.

因此，取，則.

接下來(lái)證明，因?yàn)?/span>是單射，因此取一個(gè)，

則是唯一的使得的根，換句話說(shuō)

考慮到，即，

因?yàn)?/span>是單射，則

這樣就有了.

接著令，并重復(fù)上述論證證明..