【題目】如圖,在四棱錐中, 分別是的中點(diǎn),底面是邊長為2的正方形, ,且平面平面.
(1)求證:平面平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】試題分析:(1)要證平面因平面,只要證平面,也就是證明和,后者可以由為等邊三角形得到,前者由平面得到(因?yàn)槠矫?/span>平面).(2)要求銳二面角,因幾何體比較規(guī)則,可以建立空間直角坐標(biāo)系計算兩個半平面的法向量的夾角.
解析:(1)由題, 為的中點(diǎn),可得,∵平面平面, ,平面 平面, 平面, ∴平面.又∵平面,∴. ,∴平面.∴平面平面.
(2)取的中點(diǎn), 的中點(diǎn),連接,∵,∴.∵平面平面 平面,∴平面.分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則, ,設(shè)平面 的法向量為,則.即.可取.同理,可得平面的法向量. .所以平面與平面所成銳二面角余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在 中,內(nèi)角的對邊分別為,已知,且, .
(1)求的面積.
(2)已知等差數(shù)列的公差不為零,若,且成等比數(shù)列,求的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列為遞增的等比數(shù)列, ,
數(shù)列滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)求證: 是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足,且數(shù)列的前項和,并求使得對任意都成立的正整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥,B藥)的療效,隨機(jī)地選取20位患者服用A藥,20位患者服用B藥,這40位患者在服用一段時間后,記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位:h).試驗(yàn)的觀測結(jié)果如下:
服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),從計算結(jié)果看,哪種藥的療效更好?
(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)繪制莖葉圖,從莖葉圖看,哪種藥的療效更好?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】劉徽(約公元 225 年—295 年)是魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家,中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一,他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國寶貴的古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn). 《九章算術(shù)·商功》中有這樣一段話:“斜解立方,得兩壍堵. 斜解壍堵,其一為陽馬,一為鱉臑.” 劉徽注:“此術(shù)臑者,背節(jié)也,或曰半陽馬,其形有似鱉肘,故以名云.” 其實(shí)這里所謂的“鱉臑(biē nào)”,就是在對長方體進(jìn)行分割時所產(chǎn)生的四個面都為直角三角形的三棱錐. 如圖,在三棱錐中, 垂直于平面, 垂直于,且 ,則三棱錐的外接球的球面面積為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則(ⅰ)____________.
(ⅱ)給出下列三個命題:①函數(shù)是偶函數(shù);②存在,使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形;③存在,使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.
其中,所有真命題的序號是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長是1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左,右頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(與不重合),證明:直線和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>,即,若,則稱在上封閉.
(1)分別判斷函數(shù), 在上是否封閉,說明理由;
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且存在反函數(shù),若函數(shù)在上封閉,且函數(shù)在上也封閉,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對任意,若,有恒成立,則稱在上是單射,已知函數(shù)在上封閉且單射,并且滿足 ,其中(),,證明:存在的真子集,
,使得在所有()上封閉.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為正三角形,,,,平面.
(Ⅰ)點(diǎn)在棱上,試確定點(diǎn)的位置,使得平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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