4.已知冪函數(shù)$f(x)={x^{{m^2}-2m-3}}(m∈Z)$為偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),則f(x)的解析式是f(x)=x-4

分析 由冪函數(shù)f(x)為(0,+∞)上遞減,推知m2-2m-3<0,解得-1<m<3因為m為整數(shù)故m=0,1或2,又通過函數(shù)為偶函數(shù),推知m2-2m-3為偶數(shù),進而推知m2-2m為奇數(shù),進而推知m只能是1,把m代入函數(shù),即可得到f(x)的解析式.

解答 解:∵冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),
∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3,
∵m為整數(shù),∴m=0,1或2,
又∵函數(shù)為偶函數(shù),∴m2-2m-3為偶數(shù),
∴m2-2m為奇數(shù),∴m只能是1,
把m=1代入函數(shù)f(x)=xm2-2m-3,
得f(x)=x-4
故答案為f(x)=x-4

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法,冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運用是關(guān)鍵.

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