Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c的頂點為（1，-1）．
（1）解不等式|f（-x）|+|f（x）|≥4|x|；
（2）若實數(shù)a滿足$|x-a|＜\frac{1}{2}$，求證：$|f（x）-f（a）|＜|a|+\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，將f（x）以及f（-x）讀法解析式代入不等式，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）-f（a），根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明即可．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=x²+bx+c的頂點為（1，-1），
故$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}=1}\\{\frac{4c{-b}^{2}}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=0，
故f（x）=x²-2x，
則不等式為|x²+2x|+|x²-2x|≥4|x|，
∵|x²+2x|+|x²-2x|≥|（x²+2x）-（x²-2x）|=|4x|=4|x|，
當(dāng)且僅當(dāng)x∈[-2，2]時取等號，
所以不等式恒成立，解集為x∈R．
（2）證明：|f（x）-f（a）|=|x²-2x-a²+2a|=|（x-a）（x+a-2）|
=|x-a||x+a-2|$＜\frac{1}{2}|x+a-2|=\frac{1}{2}|x-a+2a-2|≤\frac{1}{2}（|x-a|+2|a|+2）$
$＜\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+2|a|+2}）=|a|+\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查解不等式問題以及不等式的證明，是一道中檔題．