已知函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

(1)求在[0,1]內(nèi)的值域;

(2)為何值時(shí),不等式在[1,4]上恒成立.

 

【答案】

(1)值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314183068338722/SYS201301131419207146887392_DA.files/image001.png">;(2)當(dāng)時(shí),不等式在[1,4]上恒成立.

【解析】

試題分析: (1)根據(jù)題意得到是函數(shù)的零點(diǎn)且,然后得到解析式。

(2)令

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314183068338722/SYS201301131419207146887392_DA.files/image009.png">上單調(diào)遞減,要使在[1,4]上恒成立,只要求解g(x)的最大值即可。

由題意得是函數(shù)的零點(diǎn)且,則(此處也可用韋達(dá)定理解)解得:

               ------------6分

(1)由圖像知,函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減,所以:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.

內(nèi)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314183068338722/SYS201301131419207146887392_DA.files/image001.png">       --------------- 8分

(2)令

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314183068338722/SYS201301131419207146887392_DA.files/image009.png">上單調(diào)遞減,要使在[1,4]上恒成立,

則需要,即

解得當(dāng)時(shí),不等式在[1,4]上恒成立.    ------12分

考點(diǎn):本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與x軸的位置關(guān)系,以及二次函數(shù)的 最值問題的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到是函數(shù)的零點(diǎn)且,進(jìn)而求解得到解析式,進(jìn)一步研究函數(shù)在給定區(qū)間的最值。

 

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已知函數(shù),其中.

(Ⅰ)當(dāng)=1時(shí),求在(1,)的切線方程

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西南昌10所省高三第二次模擬數(shù)學(xué)試卷(五)(解析版) 題型:解答題

理科已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;(Ⅱ)已知結(jié)論:若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,且,則存在,使得.試用這個(gè)結(jié)論證明:若,函數(shù),則對(duì)任意,都有;(Ⅲ)已知正數(shù)滿足求證:當(dāng),時(shí),對(duì)任意大于,且互不相等的實(shí)數(shù),都有

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省韶關(guān)市高三下學(xué)期第二次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值.

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)已知結(jié)論:若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,且,則存在,使得.試用這個(gè)結(jié)論證明:若,函數(shù),則對(duì)任意,都有;

(3)已知正數(shù),滿足,求證:當(dāng),時(shí),對(duì)任意大于,且互不相等的實(shí)數(shù),都有.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

(1)求在[0,1]內(nèi)的值域;

(2)為何值時(shí),不等式在[1,4]上恒成立.

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