Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a₄+a₅+a₆=45．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a₄+a₅+a₆=45可求a₅，由等差數(shù)列通項公式可求公差d，從而可得a_n；
（Ⅱ）表示出

1

anan+1

，拆項后利用裂項相消法可求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₄+a₅+a₆=45，
∴3a₅=45，a₅=15，
∵a₁=3，
∴d=

a5-a1

5-1

=

15-3

4

=3，
∴a_n=3n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=3n，a_n+1=3（n+1），
則

1

anan+1

=

1

3n•3(n+1)

=

1

9

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

9

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

9

(1-

1

n+1

)=

n

9(n+1)

．

點評：該題考查等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．