Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=a_n+

1+p

1-p

a_n²（n∈N^*，p∈R，p≠1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}為單調(diào)增數(shù)列的充要條件；
（Ⅱ）當(dāng)p=

1

3

時(shí)，令b_n=

1

1+2an

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．求證：

1

2

-

1

5n

＜S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)遞增數(shù)列的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和，利用不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}為單調(diào)增數(shù)列，則a_n+1＞a_n，
即a_n+1-a_n=

1+p

1-p

a_n²＞0，
∵a₁=1，∴

1+p

1-p

＞0，即-1＜p＜1，
若-1＜p＜1，則

1+p

1-p

＞0，
∵a₁=1，a_n+1=a_n+

1+p

1-p

a_n²，
∴a_n＞0，則a_n+1-a_n=

1+p

1-p

a_n²＞0，
即a_n+1＞a_n，
∴數(shù)列{a_n}為單調(diào)增數(shù)列，即數(shù)列{a_n}為單調(diào)增數(shù)列的充要條件是-1＜p＜1．
（Ⅱ）當(dāng)p=

1

3

時(shí)，∵a_n+1=a_n+

1+p

1-p

a_n²，
∴

an+1

an

=1+2an，
∵b_n=

1

1+2an

=

an

an+1

=

2an2

2anan+1

=

an+1-an

2anan+1

=

1

2

（

1

an

-

1

an+1

），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=(

1

2a1

-

1

2a2

)+（

1

2a2

-

1

2a3

）+…+（

1

2an

-

1

2an+1

）=

1

2

-

1

2an+1

，
由（Ⅰ）知數(shù)列{a_n}為單調(diào)增數(shù)列，a₁=1，a_n+1＞1，∴S_n＜

1

2

，
又a_n+1-a_n=（an+2an2）-（an-1+2an-12）=（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
=（a_n-a_n-1）（1+2a_n+2a_n-1）＞5（a_n-a_n-1），
∴a_n+1-a_n＞5（a_n-a_n-1）＞5²（a_n-1-a_n-2）＞5³（a_n-2-a_n-3）＞…＞5n-1(a2-a1)=2×5n-1，（n≥2）
而a₂-a₁=2×5⁰=2，
∴a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁＞2×5^n-1+2×5^n-2+…+2×5⁰+1
=2×

1-5n

1-5

+1=

5n+1

2

＞

1

2

×5n，
∴-

1

an+1

＞-

2

5n

，
∴Sn=

1

2

-

1

2an+1

＞

1

2

+

1

2

(-

2

5n

)=

1

2

-

1

5n

，
綜上：

1

2

-

1

5n

＜S_n＜

1

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞增數(shù)列的定義和應(yīng)用，以及數(shù)列求和，綜合考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用．