Question

已知直線l：y=k（x-1），雙曲線：x²-y²=4，試討論下列情況下實(shí)數(shù)k的取值范圍：
（1）直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：將直線方程代入雙曲線方程，化為關(guān)于x的方程，利用方程根的判別式，即可求得k的取值范圍．
（1）由1-k²≠0，且△＞0，解得即可；（2）1-k²=0或1-k²≠0，且△=0，解得即可；（3）1-k²≠0，且△＜0，解得即可．

解答： 解：聯(lián)立直線y=k（x-1）和雙曲線：x²-y²=4，消去y得，（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0，
判別式△=4k⁴+4（1-k²）（k²+4）=4（4-3k²）．
（1）1-k²≠0，且△＞0，解得-

2 3

3

＜k＜

2 3

3

且k≠±1，
則k的取值范圍是：（-

2 3

3

，-1）∪（-1，1）∪（1，

2 3

3

）；
（2）1-k²=0或1-k²≠0，且△=0，解得k=±1，或k=±

2 3

3

，則k的取值范圍是k=±1，或k=±

2 3

3

；
（3）1-k²≠0，且△＜0，解得k＞

2 3

3

或k＜-

2 3

3

，則k的取值范圍是（-∞，-

2 3

3

）∪（

2 3

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，運(yùn)用判別式解決，注意只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不要忽視了與漸近線平行的情況，屬于易錯(cuò)題．