Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域，并求出取最小值時(shí)的x值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)的周期性及其求法即可求解，
（2）令2x+$\frac{π}{4}$看成整體，寫出正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，求出x的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π．
可得T=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=1，
∴函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$），
x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域?yàn)椋篬-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)取最小值；
（2）當(dāng)$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)周期求ω的值，并求三角函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．