Question

13．某學(xué)校進(jìn)行現(xiàn)代化達(dá)標(biāo)驗收，甲、乙、丙、丁四位評委隨機(jī)去高三A、B兩個班級聽課，要求每個班級至少有一位評委且四位評委都要參與聽課．
（1）求評委甲去A班聽課的概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量ξ是這四位評委去B班聽課的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“評委甲去A班聽課”為事件“甲A”，由題意可知：基本事件的總數(shù)為2⁴-2=14，則事件“甲A”包括基本事件數(shù)為${∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}{A}_{2}^{2}$=6．利用古典概率計算公式即可得出；
（2）由題意可知：ξ=1，2，3．利用古典概率計算公式即可得出分布列，即可得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“評委甲去A班聽課”為事件“甲A”，
由題意可知：基本事件的總數(shù)為2⁴-2=14，則事件“甲A”包括基本事件數(shù)為${∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}{A}_{2}^{2}$+${∁}_{3}^{3}$=7．
∴P（甲A）=$\frac{7}{14}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由題意可知：ξ=1，2，3．
P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{4}^{1}}{14}$=$\frac{2}{7}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}}{14}$=$\frac{3}{7}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{1}^{1}}{14}$=$\frac{2}{7}$．
可得ξ的分布列：

ξ	1	2	3
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$

∴E（ξ）=$1×\frac{2}{7}$+$2×\frac{3}{7}$+$3×\frac{2}{7}$=2．

點(diǎn)評 本題考查了組合數(shù)的計算公式、古典概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．