【題目】二次函數在區(qū)間上有最大值4,最小值0.
(1)求函數的解析式;
(2)設,若在時恒成立,求的范圍.
【答案】(1)g(x)=x2﹣2x+1;(2)[33,+∞)
【解析】
(1)根據二次函數的性質討論對稱軸,即可求解最值,可得解析式.
(2)求解f(x)的解析式,f(x)﹣kx≤0在x∈[,8],分離參數即可求解.
(1)g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)
其對稱軸x=1,x∈[0,3]上,
∴當x=1時,f(x)取得最小值為﹣m+n+1=0,…①.
當x=3時,f(x)取得最大值為3m+n+1=4,…②.
由①②解得:m=1,n=0
故得函數g(x)的解析式為:g(x)=x2﹣2x+1
(2)由f(x)
當x∈[,8]時,f(x)﹣kx≤0恒成立,
即x2﹣4x+1﹣kx2≤0恒成立,
∴x2﹣4x+1≤kx2
∴k.
設,則t∈[,8]
可得:1﹣4t+t2=(t﹣2)2﹣3≤k.
當t=8時,(1﹣4t+t2)max=33
故得k的取值范圍是[33,+∞)
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【題目】已知曲線的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數方程是 (為參數).
(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)若直線與曲線相交于兩點,且,求直線的傾斜角的值.
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【題目】雙曲線的左、右焦點分別為、,直線過且與雙曲線交于、兩點.
(1)若的傾斜角為,,是等腰直角三角形,求雙曲線的標準方程;
(2),,若的斜率存在,且,求的斜率;
(3)證明:點到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點在已知雙曲線上的必要非充分條件.
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【題目】函數角度看,可以看成是以為自變量的函數,其定義域是.
(1)證明:
(2)試利用1的結論來證明:當為偶數時,的展開式最中間一項的二項式系數最大;當為奇數時的展開式最中間兩項的二項式系數相等且最大.
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【題目】已知橢圓的離心率為,其左、右焦點分別為,點是坐標平面內一點,且, (為坐標原點).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點,在軸上是否存在定點,使以為直徑的圓恒過該點?若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.
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