Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow$=（3，m），若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），則|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算公式可得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-1，1-m），進(jìn)而由向量垂直的性質(zhì)可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=2×（-1）+1×（1-m）=0，解可得m的值，即可得$\overrightarrow$的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的坐標(biāo)，由向量模的計算公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow$=（3，m），則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-1，1-m），
若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=2×（-1）+1×（1-m）=0，
解可得m=-1，即$\overrightarrow$=（3，-1），
則2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（7，1），
則|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$；
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查向量數(shù)量積的運算，關(guān)鍵是利用向量的坐標(biāo)運算求出$\overrightarrow$的坐標(biāo)．