Question

5．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，S_n+1=S_n+（n+1）（$\frac{3}{n}{a}_{n}$+2）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n+n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=3（$\frac{{a}_{n}}{n}$+1），可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求出b_n=a_n+n=n（3ⁿ-1）+n=n•3ⁿ，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=2，S_n+1=S_n+（n+1）（$\frac{3}{n}{a}_{n}$+2），
可得S_n+1-S_n=（n+1）（$\frac{3}{n}{a}_{n}$+2），
即為$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{3}{n}{a}_{n}$+2，
即有$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=$\frac{3}{n}{a}_{n}$+3=3（$\frac{{a}_{n}}{n}$+1），
可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
即有$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=3ⁿ，
即a_n=n（3ⁿ-1），n∈N*；
（2）b_n=a_n+n=n（3ⁿ-1）+n=n•3ⁿ，
前n項(xiàng)和T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-2T_n=3+3²+3³+…+3^n-1+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列法，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．