Question

13．已知函數f（x）=ax-lnx-1．
（1）若函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，求實數a的取值范圍；
（2）求證：ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）問題轉化為a≥${（\frac{1}{x}）}_{max}$，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（2）求出lnx＜x-1，根據1+$\frac{1}{n}$＞1，（n∈N^*）證明結論即可．

解答 解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），
（1）由題意知f′（x）=a-$\frac{1}{x}$≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
所以a≥${（\frac{1}{x}）}_{max}$，又y=$\frac{1}{x}$在區(qū)間[1，+∞）上遞減，所以${（\frac{1}{x}）}_{max}$=1，
即實數a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）取a=1，由（1）有f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，
所以，當x＞1時，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x-1，
因為1+$\frac{1}{n}$＞1，（n∈N^*），
所以ln（1+$\frac{1}{n}$）＜1+$\frac{1}{n}$-1=$\frac{1}{n}$，
即ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，考查轉化思想，是一道中檔題．