Question

在△ABC中，點(diǎn)P滿(mǎn)足

AP

=t（

AB

+

AC

）（t≠0），

BP

•

AP

=

CP

•

AP

，則△ABC一定是（　�。�

• A、直角三角形
• B、等腰三角形
• C、等邊三角形
• D、鈍角三角形

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)D是BC中點(diǎn)，由

AP

=t（

AB

+

AC

）（t≠0）可得點(diǎn)P在三角形ABC的中線(xiàn)AD所在直線(xiàn)上．再由

BP

•

AP

=

CP

•

AP

，可得

AP

⊥

BC

，從而得到三角形ABC的邊BC上的中線(xiàn)與高線(xiàn)重合，可得三角形ABC是等腰三角形．

解答： 解：∵

AP

=t（

AB

+

AC

）（t≠0），設(shè)D是BC中點(diǎn)，則

AB

+

AC

=2

AD

，
∴

AP

=2t

AD

，故點(diǎn)P在三角形ABC的中線(xiàn)AD所在直線(xiàn)上． 
∵

BP

•

AP

=

CP

•

AP

，
∴

AP

•(

BP

-

CP

)=0，即

AP

•

BC

=0，

AP

⊥

BC

．
即 AP⊥BC，故三角形ABC的邊BC上的中線(xiàn)與高線(xiàn)重合，
所以△ABC是等腰三角形，其中AB=AC，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的條件，等腰三角形的判定．