Question

15．函數(shù)f（x）=x+a|x-1|在（0，+∞）上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 結(jié)合絕對值的含義，對a討論，分a=0，a＞0①a=1，a＞1，0＜a＜1，a＜0，①a=-1，②a＜-1，③-1＜a＜0，通過x與1的關(guān)系，去掉絕對值，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷是否存在最大值，進而求得a的范圍．

解答 解：當(dāng)a=0時，f（x）=x在（0，+∞）上遞增，無最大值；
當(dāng)a＞0時，①x＞1時，f（x）=（1+a）x-a在（0，+∞）上遞增，
②0＜x＜1時，f（x）=a+（1-a）x，當(dāng)0＜a＜1時，f（x）遞增，無最大值；
當(dāng)a=1時，f（x）=x+|x-1|在（0，+∞）上單調(diào)遞增，有最小值1，無最大值；
當(dāng)a＞1時，f（x）=a+（1-a）x在0＜x＜1遞減，
f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1），無最大值；
當(dāng)a＜0時，①若-1＜a＜0時，f（x）在x＞1上遞增，在0＜x＜1上遞增，無最大值；
②若a=-1時，f（x）=x-|x-1|，當(dāng)x≥1時，f（x）=1，
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=2x-1∈（-1，1），
即f（x）存在最大值；
③當(dāng)a＜-1時，當(dāng)x＞1時，f（x）=（1+a）x-1遞減；
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=a-（1-a）x遞增，
即有x=1處取得最大值，且為1．
綜上可得a的范圍是（-∞，-1]．
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．